Что такое полутон и тон в музыке

Полутон — наименьший интервал европейской музыки: расстояние между двумя ближайшими звуками двенадцатиступенной системы, на клавиатуре это две соседние клавиши подряд. Целый тон — два полутона, шаг через одну клавишу. В полутонах меряют все остальные интервалы: малая терция — три, чистая квинта — семь, октава — двенадцать.

Полутон и целый тон: как их считать на клавиатуре

Полутон на клавиатуре — это две соседние клавиши, любые, без оглядки на цвет. До и до-диез — полутон. Ми и фа — тоже полутон, хотя обе клавиши белые. Целый тон — шаг через одну клавишу: до–ре, ре–ми, фа–соль. Формула тут везде одна: полутон плюс полутон равно целый тон.

Проверять цвет клавиш при счёте — типичная ошибка новичка. Считайте подряд все клавиши между начальной и конечной, и ошибиться будет не на чем. От до до ми: до-диез, ре, ре-диез, ми — четыре шага, четыре полутона, большая терция. От ми до соль: фа, фа-диез, соль — три полутона, малая терция. Цвет в этой арифметике не участвует вообще; где какая клавиша лежит и почему чёрные собраны в группы по две и по три, мы разбирали в отдельном материале про расположение нот на клавиатуре.

Полутон как единица измерения

Счёт полутонов — это способ задать любой интервал числом, и на нём держится вся интервальная система. Чистые интервалы (прима, кварта, квинта, октава) и большие-малые (секунда, терция, секста, септима) различаются именно количеством полутонов между звуками, а не описанием на слух — поэтому интервал можно посчитать, ни разу его не услышав.

Эта таблица — рабочий инструмент, а не украшение. По ней собирается аккорд: 4 полутона снизу и 3 сверху дают мажорное трезвучие, 3 и 4 — минорное, и различает их ровно один полутон в среднем звуке (подробности — в разборе, что такое аккорд). По ней же строится гамма: мажорная формула — тон-тон-полутон-тон-тон-тон-полутон, и она одинакова в любой тональности, за что мажор везде и узнаётся на слух (мажор и минор — там же и минорная схема).

Почему между ми и фа нет чёрной клавиши

Ми и фа стоят вплотную потому, что между ними уже полутон и вставлять туда нечего, — но интереснее, откуда взялся сам разрыв. Причина не в клавиатуре: клавиатура ничего не решает, она рисует звукоряд, который сложился до неё.

Считайте: ступеней в звукоряде семь, полутонов в октаве двенадцать. Семь на двенадцать нацело не делится, значит расставить семь ступеней с одинаковыми промежутками невозможно в принципе — какие-то соседние окажутся ближе других. Единственное целочисленное решение: пять промежутков по два полутона и два по одному, 5·2 + 2·1 = 12. Два коротких места неизбежны математически, и вопрос стоит не «почему они есть», а «где именно они стоят» — в до мажоре это ми–фа и си–до.

Чёрные клавиши появились позже как заполнение пяти широких промежутков — тех самых целых тонов. Заполнять узкие было нечем и незачем: там уже минимальный шаг. Отсюда и знакомый рисунок 2+3, который на самом деле не дизайнерская находка, а отпечаток семиступенной диатоники на дереве.

Одна оговорка для тех, кто разбирает ноты или самоучители на немецком: там нота си обозначается буквой H, а B означает си-бемоль. Полутоном в такой записи будет пара h–c, а «B–C» — уже целый тон. Правило то же самое, буквы другие.

«Тон» в русском языке значит четыре разных вещи

Слово «тон» в музыке несёт минимум четыре значения, и путаница между ними тянется через большинство объяснений. Первое — интервал в два полутона, о котором вся эта статья. Второе — просто звук определённой высоты: в этом смысле говорят «основной тон аккорда», от которого строятся терции (термин разобран в материале про аккорд). Третье — составляющая спектра, обертон. Четвёртое, бытовое, — характер звучания, «мягкий тон инструмента».

Различать приходится по контексту, других подсказок язык не даёт. Рядом стоит число или слово «полутон» — речь про интервал; рядом «основной» или «обертон» — про звук.

Цент: чем меряют то, что мельче полутона

Цент — сотая доля темперированного полутона, то есть 1/1200 октавы. Единицу ввели для одной задачи: сравнивать между собой интервалы из разных строёв, которые в дробях частот выглядят несопоставимо. Отношение 256:243 и отношение 16:15 на глаз не сравнить, а 90,2 цента и 111,7 цента — легко.

Переводится в центы что угодно: n = 1200 · log₂(f₂ / f₁). Обратная сторона той же формулы — множитель на один шаг. Октава удваивает частоту, двенадцать равных шагов внутри неё дают на каждый шаг корень двенадцатой степени из двух:

Из этой же логики выведен и MIDI-номер ноты: m = 12 · log₂(f / 440) + 69, где 440 Гц — эталонное ля первой октавы, оно же нота 69. Полутон в MIDI — это плюс единица к номеру, и никакой другой шкалы протокол не знает.

В мелодии один цент не слышит никто — это отношение частот 1,00058. При одновременном звучании картина другая: там доли цента выдают себя биениями, и на этом стоит вся настройка акустических инструментов на слух. Порядок величин удобно держать в голове так: разница между эталонами 440 и 442 Гц — 7,85 цента, меньше двенадцатой доли одной ступени, а пифагорова комма, из-за которой и появилась равномерная темперация, — 23,46 цента, около четверти полутона. Что делает смена эталона и почему цифровое пианино в настройке не нуждается — в отдельном разборе про то, нужно ли настраивать цифровое пианино.

Диатонический и хроматический полутон

Диатонический полутон соединяет две разные ступени, хроматический берётся внутри одной. Си–до, ми–фа, до–ре-бемоль — диатонические: буквы разные, на нотоносце разные линейки или промежутки. До–до-диез, фа–фа-диез — хроматические: буква одна, позиция на нотоносце одна, меняется только знак. В теории интервалов первое называется малой секундой, второе — увеличенной примой.

В равномерной темперации оба ровно по 100 центов и звучат абсолютно одинаково — различие остаётся чисто нотным, вопросом орфографии. Но орфография эта не произвольная: она отражает, откуда звук пришёл и куда идёт. Почему один и тот же звук имеет два имени и в каких парах это происходит, мы подробно разобрали в материале про диез и бемоль — здесь важно другое: за разными названиями стоит реальная историческая разница в высоте.

Полутоном, кстати, оказывается и третий интервал — дважды уменьшённая терция. Три разных названия у одного расстояния показывают главное: нотная запись передаёт не только высоту, но и функцию звука.

Ловушка: какой полутон больше — зависит от строя

Утверждение «хроматический полутон больше диатонического» верно только в пифагоровом строе, а в чистом и среднетоновом всё переворачивается. Это частая ошибка популярных объяснений, и цена ей — перевёрнутый вывод.

Разберём по строям. В пифагоровом строе, где всё строится цепочкой чистых квинт, лимма и апотома отличаются на 23,46 цента — целую пифагорову комму. Практическое следствие звучит контринтуитивно для всех, кто вырос на клавиатуре: фа-диез в пифагоровом строе выше, чем соль-бемоль. «Одна и та же клавиша» — это свойство темперированного инструмента, а не музыки вообще.

В чистом строе, построенном на простых отношениях 3:2 и 5:4, соотношение обратное, а самих хроматических полутонов там даже два: большой 135:128 (92,2 цента) и малый 25:24 (70,7). Итого в чистом строе три разных полутона против двух в пифагоровом и одного в равномерной темперации.

Отдельная строка в истории — лютневые мастера Ренессанса: лады они ставили по отношению 18:17, то есть 99,0 цента. До равномерной темперации оставался один цент, и добыт он был геометрией на грифе, без логарифмов.

Целый тон тоже не один

В чистом строе целых тонов два разных размера: больший 9:8 — это 203,91 цента, и меньший 10:9 — 182,40. Разница между ними, 81:80 или примерно 21,5 цента, называется синтонической коммой. В пифагоровом строе целый тон всегда 9:8, а в равномерной темперации оба слились в один 200-центовый. Разница эта дожила и до интерфейса: в руководстве Roland FP-90X у среднетонового строя стоит прямая оговорка — в чистых строях целый тон бывает двух видов.

Отсюда важная оговорка к школьной формуле. «Целый тон равен двум полутонам» — верно ровно в одном строе, равномерном. В остальных сумма зависит от того, какие именно полутоны складывать: лимма плюс апотома дают ровно 9:8 — тот самый пифагоров целый тон в 203,91 цента (в таблице выше лимма округлена, точнее её величина 90,22), а две лиммы подряд — всего 180,4, и это уже не целый тон ни в каком строе. Практического значения на цифровом пианино это не имеет, а на понимание влияет сильно: равенство всех полутонов — инженерное решение, а не свойство звука.

Почему в октаве ровно двенадцать полутонов

Двенадцать — лучшее из практичных приближений, а не число из природы звука. Причина в том, что круг квинт физически не замыкается: двенадцать чистых квинт 3:2 не складываются в семь октав. Отношение 3¹²/2¹⁹ = 531441:524288 ≈ 1,01364, избыток — 23,46 цента, примерно четверть полутона. Это и есть пифагорова комма.

Промах никуда не девается — его можно только куда-нибудь деть. Исторические строи сваливали избыток в отдельные интервалы, из-за чего часть тональностей оказывалась непригодной к игре. Равномерная темперация распределяет комму по всем двенадцати квинтам поровну: каждая становится уже чистой примерно на два цента, зато все полутоны равны и все тональности одинаково пригодны. Двенадцать здесь — та точка, где промах впервые становится достаточно мелким, чтобы его можно было размазать незаметно. Более дробные деления октавы существуют и математически точнее, но клавиатуру под них не построишь.

Численное решение задачи — деление октавы множителем ¹²√2 ≈ 1,059463 — впервые опубликовал в 1584 году китайский принц Чжу Цзаиюй в «Полном своде музыки и высоты», проиллюстрировав набором бамбуковых трубок. Почти одновременно и независимо к тому же пришёл фламандец Симон Стевин, чьи вычисления оказались менее точными. Кто был первым, мы решать не беремся: датировки работ Стевина расходятся, а независимость двух решений сомнений не вызывает.

Чем заплатили за равные полутоны

Ценой равенства стала расстроенная терция. Точные величины отклонений темперированных интервалов от чистых:

Терция расстроена примерно в семь раз сильнее квинты — вот прямой ответ на вопрос, чем пожертвовали. Двух центов на квинте не слышно, а почти четырнадцать на большой терции — это уже та самая широковатость темперированного мажорного трезвучия, которую слышат и не музыканты, просто не зная, как её назвать. Именно поэтому исторические строи не исчезли и живут отдельным пунктом меню в цифровых пианино: там терции чище, но платой становится непригодность далёких тональностей. Как этот пункт устроен у разных брендов и зачем ему опорная нота, разобрано в материале про гамму и тональность.

Полутон и цент в цифровом пианино

Полутон в интерфейсе цифрового пианино встречается постоянно, а цент — почти никогда. Мы прочитали пять официальных руководств, и картина получилась ровная: полутон служит единицей транспонирования у всех, а слово «cent» нашлось только в двух документах и оба раза не там, где его ждёшь.

Разберём, что из этого следует. Мостик «сто центов равны полутону» не строит ни одно из пяти проверенных руководств: транспонирование описывается в полутонах, тонкая подстройка — в герцах, и связь между двумя шкалами читатель должен восстановить сам. У Casio цент вообще живёт не в разделе про строй, а в разделе про наложение тембров: им задаётся расстройка второго слоя относительно первого — тот самый приём, от которого звук становится шире и жирнее. Владелец скорее встретит там своё первое в жизни упоминание цента, чем в описании темперации.

Само определение равномерной темперации тоже даётся не везде и не одинаково. Формулу с числом двенадцать — «октава делится на двенадцать равных шагов» — приводят трое из пяти: Roland FP-90X, Yamaha CLP-885 и Kawai ES920. У Kawai ES120 равномерная темперация названа, но без числа. Casio PX-S1100 не определяет её вовсе: Equal там просто первая строка в списке из семнадцати строёв. Центовых величин отклонения для исторических строёв не приводит ни одно из пяти руководств — описания качественные, числа остались в теории.

Пользовательский строй, где высота каждой из двенадцати ступеней правится вручную, нашёлся в этой выборке только у Kawai ES920. У той же модели есть и поклавишная подстройка всех 88 клавиш, и вот она включается с оговорками: только при включённом Stretch Tuning, равномерной темперации и пользовательской кривой растяжки.

Практический вывод для владельца: полутон вам понадобится, цент — вряд ли. Транспонирование ступенями и подстройка эталона в герцах закрывают почти всё, а диапазоны Transpose по брендам мы свели в отдельной таблице в материале про транспонирование.